sinusoidal run rhythm

Spektraler Rhythmus

Eine vergleichende Betrachtung von diskreten und spektralen Rhythmen

Stockhausen stellt in seinem berühmtem Essay „Wie die Zeit vergeht“ eine Kontinuität zwischen Frequenz und Rhythmus her, die für die damalige Zeit revolutionär war. Wenn man allerdings z. B. die Aufnahme eines Flötentons auf eine als Rhythmus hörbare Frequenz verlangsamt kann man den Rhythmus nur noch als Membranbewegung des Lautsprechers sehen und nicht mehr hören. Andersherum bringt ein beschleunigtes Rhythmussignal die Spezifika seiner Signalform als Klangfarbe mit. Die vorliegende Arbeit vergleicht die Hochpunkte von zwei in ganzzahligen Verhältnissen stehenden, phasengleichen, addierten Kreisfunktionen mit den Zeitpunkten einer konventionellen, ganzzahligen Rhythmusüberlagerung, um diese Wahrnehmungsschwelle genauer zu fassen. Dabei ergibt sich eine unterschiedliche zeitliche Aufteilung und ein anderes Konzept von Rhythmus. Um das Phänomen hörbar zu machen habe ich solche Schwingungen als Cosinus realisiert und als Amplitudenhüllkurve für Rauschen genutzt. Beispiele kann man sich hier ansehen und anhören:

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Regelmäßigkeiten bei der Addition zweier in ganzzahligem Frequenzverhältnis stehender Schwingungen:

1. Anzahl der Hochpunkte
Pro Phase ergeben sich immer die Anzahl von Hochpunkten der schnelleren Schwingung.

2. Lautstärkegewichtung der Hochpunkte
Die Hochpunkte (und auch die Tiefpunkte) haben eine unterschiedliche Amplitude, wobei zu Beginn der Phase immer eine voller Ausschlag liegt.

3. Symmetrie
Alle Kurven sind achsensymmetrisch in der Mitte der Phase.

Ungeradzahlige Paare sind achsensymmetrisch zur x-Achse, aber um 180 Grad verschoben.

4. Zeitwert der Hochpunkte
Hochpunkte werden im Vergleich zu diskreten Rhythmen immer in Richtung des nächsten Nachbars der langsameren Schwingung verschoben.

Es gilt: a und b sind Element der ganzen Zahlen und a>b
Die normalisierte Formel mit Phasenlänge 2: (cos(a π x)+cos(b π x))/(2)
Hochpunkte wenn gilt:
-(pi*(b*sin(pi*b*x)+a*sin(pi*a*x)))/(2)= 0
und
-(pi^2*(b^2*cos(pi*b*x)+a^2*cos(pi*a*x)))/(2) < 0

Verhältnis von diskreten und spektralen Rhythmen:
1/a : Hochpunkt (a- (a-1)) → (a-1)/a : Hochpunkt (a-1)

Die komplette Formel für dieses Verhältnis ist in Arbeit.

Folgendes Schaubild zeigt eben jenes Verhältnis bei a=5 und b=3.

5. Dauern der Kurvenabschnitte

Wenn man die Dauer eines Ereignisses vom Hochpunkt bis zum Tiefpunkt definiert, ergibt sich z. B. bei einem 1:2-Verhältnis ab Null eine längere Dauer im Vergleich zu der vom zweiten Hochpunkt aus. So kann man die Verhältnisse rediskretisieren und so evtl. für Interpreten nutzbar machen.

In dieser diskreten Projektion sind Verhältnisse mit mindestens einem ungeradzahligen Faktor in der Mitte der Phase gespiegelt und dann invertiert. Das heisst die zweite Hälfte der Phase ergibt den Komplementärrhythmus zur ersten Hälfte derselben.

Eine annähernde Transkription der so entstehenden Rhythmen in Notenschrift, um einen Katalog zu erstellen ist in Arbeit.

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